G* =  = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.DE GRACELI 

    EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO, NÍVEIS DE ENERGIA, do sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

A equação de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para ${\displaystyle +\,}$ e outra para ${\displaystyle -\,}$):

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Nas equações acima, ${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle \,}$ é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e ${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle \,}$, em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia ${\displaystyle V\,}$ descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{0}\,}$ descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são ${\displaystyle |\phi \rangle \,}$ e seus autovalores são as energias ${\displaystyle E\,}$. Finalmente, ${\displaystyle i\epsilon \,}$ é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

Em matemática e em física matemática, os integrais de Slater são certos integrais de produtos de três harmónicas esféricas. Eles ocorrem naturalmente quando se aplica uma base ortonormal de funções à esfera unitária que se transforma de uma forma particular quando rodada em três dimensões. Estes integrais são particularmente úteis no cálculo de propriedades de átomos que possuem simetria esférica natural.

Formulação

Em conexão com a teoria quântica da estrutura atómica, John C. Slater definiu o integral das três harmónicas esféricas como um coeficiente ${\displaystyle c}$.^[1] Estes coeficientes são essencialmente o produto de dois símbolos 3j.

${\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Estes integrais são úteis e necessários quando se fazem cálculos atómicos da variedade Hartree–Fock, onde elementos da matriz do operador de Coulomb e do operador de troca são necessários. Para uma fórmula explícita, pode ser usada a fórmula de Gaunt para polinómios associados de Legendre.

Note-se que o produto de duas harmónicas esféricas pode ser escrito em termos desses coeficientes. Expandindo esse produto sobre uma base de harmónica esférica da mesma ordem

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

pode-se então multiplicar por ${\displaystyle Y^{*}}$ e integrar, usando a propriedade conjugada e sendo cuidadoso com as fases e normalizações:

${\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',m').}$

e logo

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Estes coeficientes obedecem a um número de identidades. Incluem:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Referências

Estado quântico

A luz visível do Sol, ou de uma lâmpada, é comumente uma mistura de muitos fótons de diferentes comprimentos de onda. Uma visão deste espectro de frequência, pode ser obtida por exemplo pela passagem da luz por um prisma. Neste co-denominado "estado misto", que estas fontes tendem a produzir, a luz se constitui de fótons em equilíbrio térmico (também denominado de radiação de corpo negro). Onde eles são de muita forma, semelhantes às partículas de um gás. Por exemplo, eles exercem pressão, conhecida como pressão de radiação, na qual (em parte) origina a aparência dos cometas quando eles estão viajando próximos ao Sol.

Por outro lado, um arranjo de fótons também pode existir em estados muito mais bem organizados. Por exemplo, nos denominados estados coerentes, descreve-se uma luz coerente como as emitidas por um laser ideal. O alto grau de precisão obtido com instrumentos a laser advém desta organização.

Absorção molecular

Uma molécula típica, ${\displaystyle M}$, possui vários níveis de energia diferentes. Quando uma molécula absorve um fóton, sua energia aumenta em uma quantidade igual à da energia do fóton. A molécula então entra em um estado excitado, ${\displaystyle M^{*}\,}$.

${\displaystyle M+\gamma \to M^{*}\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Fótons no vácuo

No espaço vazio, conhecido como vácuo perfeito, todos os fótons se movem a velocidade da luz, c, determinada como sendo igual a 299 792 458 metros por segundo, ou aproximadamente 3×10⁸ m s⁻¹. O metro é definido como a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299 792 458 de um segundo, como a velocidade da luz não oferece qualquer incerteza experimental, diferente do metro ou do segundo, tanto que confiamos no segundo sendo definido por meio de um relógio muito preciso.

Segundo um princípio da relatividade restrita de Einstein, todas as observações da velocidade da luz no vácuo são as mesmas para todas as direções e para qualquer observador em um referencial inercial. Este princípio é geralmente aceito na física desde que muitas consequências práticas para as partículas de alta-energia tem sido observadas.

Fótons na matéria

Quando fótons passam através de material, tal como num prisma, frequências diferentes são transmitidas em velocidades diferentes. Isto é chamado de refração e resulta na dispersão das cores, onde fótons de diferentes frequências saem em diferentes ângulos. Um fenômeno similar ocorre na reflexão onde superfícies podem refletir fótons de várias frequências em diferentes ângulos.

A relação de dispersão associada para fótons é uma relação entre a frequência, f, e comprimento de onda, λ. ou, equivalentemente, entre sua energia, E, e momento, p. Isto é simples no vácuo, desde que a velocidade da onda, v, é dada por

${\displaystyle v=\lambda f=c\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

As relações quânticas do fóton são:

${\displaystyle E=hf\,}$ e ${\displaystyle p=h/\lambda \,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde h é constante de Planck. Então nós podemos escrever esta relação como:

${\displaystyle E=pc\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

que é característica de uma partícula de massa zero. Desta forma vemos como a notável constante de Planck relaciona os aspectos de onda e partícula.

Fórmula da variação de Compton

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz^[3].

• Luz como uma partícula;
• Dinâmica Relativística;
• Trigonometria.

O resultado final nos dá a equação do espalhamento de Compton:

${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde:

${\displaystyle \lambda _{0}}$ é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

${\displaystyle {\frac {h}{m_{e}c}}}$ é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é ${\displaystyle 2,43\times 10^{-12}m}$.

Analisando o efeito fotoelétrico quantitativamente usando o método de Einstein, as seguintes equações equivalentes são usadas:

Energia do fóton = Energia necessária para remover um elétron + Energia cinética do elétron emitido

Mais detalhes em: Energia do fóton

Algebricamente:

${\displaystyle hf=\phi +E_{c_{max}}\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde:

• h é a constante de Planck,
• f é a frequência do foton incidente,
• ${\displaystyle \phi =hf_{0}\ }$ é a função trabalho, ou energia mínima exigida para remover um elétron de sua ligação atômica,
• ${\displaystyle E_{c_{max}}={\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}}$ 

  /

  G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 
• é a energia cinética máxima dos elétrons expelidos,
• f₀ é a frequência mínima para o efeito fotoelétrico ocorrer,
• m é a massa de repouso do elétron expelido, e
• v_m é a velocidade dos elétrons expelidos.

Notas:

Se a energia do fóton (hf) não é maior que a função trabalho (${\displaystyle \phi }$), nenhum elétron será emitido. A função trabalho é ocasionalmente designada por ${\displaystyle W}$.

Em física do estado sólido costuma-se usar a energia de Fermi e não a energia de nível de vácuo como referencial nesta equação, o que faz com que a mesma adquira uma forma um pouco diferente.

Note-se ainda que ao aumentar a intensidade da radiação incidente não vai causar uma maior energia cinética dos elétrons (ou electrões) ejectados, mas sim um maior número de partículas deste tipo removidas por unidade de tempo.

Uma analogia comumente utilizada para explicar tal fenômeno envolve uma colina e um trenó subindo em direção ao cume da colina. Imaginando que o trenó esteja subindo a colina, parte de sua energia cinética que se transforma em energia potencial gravitacional U. Quando o cume da colina é atingido, podemos pensar que o trenó tem energia potencial Ub. Se a energia mecânica inicial E do trenó for maior que Ub, o trenó poderá chegar do outro lado da colina. Contudo, se E for menor que Ub, a física clássica garante que não existe a possibilidade de o trenó ser encontrado do outro lado da colina. Na mecânica quântica, porém, existe uma probabilidade finita de que esse trenó apareça do outro lado, movendo-se para direita com energia E como se nada tivesse acontecido. Dizemos que a colina se comporta como uma barreira de energia potencial, exemplificando de maneira simplória o efeito Túnel.^[6]

Reflexão e tunelamento através de uma barreira potencial por um pacote de ondas. Uma parte do pacote de ondas passa através da barreira, o que não é possível pela física clássica.

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade ${\displaystyle \Psi }$ da onda de matéria associada a ele, podemos pensar em três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as 3 regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda - a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa.^[2]

O coeficiente de transmissão (T) de uma determinada barreira é definido como uma fração dos elétrons que conseguem atravessá-la. Assim, por exemplo, se T= 0,020, isso significa que para cada 1000 elétrons que colidem com a barreira, 20 elétrons (em média) a atravessam e 980 são refletidos.

${\displaystyle T=e^{-2bL}}$ , ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Por causa da forma exponencial da equação acima, o valor de T é muito sensível às três variáveis de que depende: a massa m da partícula, a largura L da barreira e a diferença de energia de Ub-E entre a energia máxima da barreira e a energia da partícula. Constatamos também pelas equações que T nunca pode ser zero.^[6]

O fenômeno da desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade. A radioatividade transforma núcleos instáveis fazendo surgir as radiações α, β e γ.

A lei fundamental do decaimento radioativo afirma que a taxa de decaimento é proporcional ao número de núcleos que ainda não decaíram:

${\displaystyle N=N_{o}.e^{-\lambda .t}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Esta é a equação da lei básica para a radioatividade.

A medida da intensidade da radioatividade é feita em duas unidades que são:

• Curie: Definido como a quantidade de material radioativo que

dá ${\displaystyle 3,7\times 10^{10}}$ desintegrações por segundo.

• Rutherford (Rd): é definido como a quantidade de substância radioativa que dá ${\displaystyle 10^{6}}$ desintegrações por segundo.

Na natureza existem elementos radioativos que exibem transformação sucessiva, isto é, um elemento decai em substância radioativa que também é radioativa. Na transformação radioativa sucessiva, se o número de nuclídeos qualquer membro da cadeia é constante e não muda com o tempo, é chamado em equilíbrio radioativo.^[3] A condição de equilíbrio é portanto:

${\displaystyle N_{p}=-\lambda _{p}N_{p}=0}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle {\frac {dN_{d}}{dt}}=-\lambda _{D}N_{D}=0}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

ou

${\displaystyle \lambda _{p}N_{p}=\lambda _{D}N_{D}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \lambda _{p}N_{p}=\lambda _{G}N_{G}}$.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Onde os subscritos P, D e G indicam núcleo-pai (do Inglês parent), núcleo-filha (do Inglês daughter) e núcleo-neta (do Inglês granddaughter) respectivamente.

O estudo da radioatividade e radioisótopos tem várias aplicações na ciência e tecnologia. Algumas delas são:

1. Determinação da idade de materiais antigos com auxílio de elementos radioativos.
2. Análises para obtenção de vestígios de elementos.
3. Aplicações médicas como diagnóstico e tratamento.